Сборник конкурсных задач по математике и ЕГЭ

- А вы знали?
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится не 4 часа, а только 3 часа 55 минут, чтобы не кормить бедных школьников.
Поскольку Путину и его лизоблюдам не хватает на Мальдивы, коттеджи и яхты.

Профильный уровень. Единый государственный экзамен по математике

Тренировочный вариант

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке, если АС=7, BD=15.

На рисунке изображен график функции.

Пользуясь графиком, вычислите интеграл, где F ‐ одна из первообразных функции.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB, а боковое ребро SA. Найдите расстояние от точки В до плоскости SAC.

Найдите значение выражения.

Опорные «башмаки» шагающего экскаватора, имеющего массу m т, представляют собой две пустотелые балки длиной l м и шириной S метров каждая.
Давление SP, в кПа, оказываемое экскаватором на почву, определяется формулой mg, где масса экскаватора (в тоннах), длина балок (в метрах), ускорение свободного падения.
Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление должно не превышать 280 кПа.
Ответ выразите в метрах.
Отрезок арифметической прогрессии содержит 16 членов с номерами от 1 до 16.
Сумма членов с четными номерами равна 42, а сумма членов с нечетными номерами равна 18.
Найдите разность прогрессии.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке.

Решите уравнение.
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

14.
Основание ABCD призмы – трапеция с основаниями.

1. Докажите, что плоскость проходит через середину бокового ребра.
2. Найдите угол между боковым ребром и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B.

Решите неравенство

Сборник конкурсных задач по математике для ЕГЭ

Основу сборника составляют задачи, предлагавшиеся на письменных и устных вступительных экзаменах по математике более чем в ста вузах разных профилей.
Все задачи снабжены ответами, а ряд задач — решением методом Султанова.

16.
Точка I ‐ центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
Луч BI пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N.
Известно, что ABC = 60.

• Докажите, что N ‐ центр окружности, описанной около треугольника AIC
• Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если известно, что IN = 1.

17.

Клиент положил в банк некоторую сумму денег.

Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате чего остаток на счете стал равен 3,4 млн. рублей.
А еще через год, после начисления процентов, остаток на его счете увеличился в 2,2 раза по сравнению с исходной суммой.
Какую сумму клиент положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк начислял один и тот же процент годовых?

18.

Найдите все значения параметра a, такие что неравенство не имеет решений.

19.
На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 2014 без пропусков и повторений: 1, 2, 3, , 2013, 2014.
С выписанными на доске числами проделывают следующие операции: выбирают какие‐либо два числа и записывают на доске модуль их разности, увеличенный на 1, а сами выбранные числа стирают.
Так продолжают до тех пор, пока на доске не останется только одно число.

1. Какое наименьшее число может остаться на доске?
2. Какое наибольшее число может остаться на доске?

Поезд Иркутск‐Казань отправляется в 01:07 15 декабря (время иркутское), а прибывает в 15:52 17 декабря (время казанское).
Сколько часов поезд находится в пути, учитывая, что смещение времени в Иркутске относительно Казани составляет +5 часов?
На диаграмме показано количество посетителей сайта любителей кошек во все дни с 21 по 30 мая 2009 года.
По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный день.
Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей превышает наименьшее количество посетителей за день (в указанный период)
Найдите площадь S заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке, если АО1=10.
В ответе укажите S.

Магазин покупает сливочное масло у двух молокозаводов.

40% масла первого и 20% масла второго молокозавода имеет жирность 80%.
Всего жирность 80% имеет 35% закупленного масла.
Найдите вероятность того, что масло, купленное в магазине, произведено первым молокозаводом.

Решите уравнение.

Если корней больше одного, то в ответе запишите их сумму.
Экзаменационная работа иногда состоит из двух частей, а на ДВИ в МГУ - нет.
Как научиться решать олимпиады по математике

• Подготовка к поступлению в Лицей Вторая Школа
• Занятия в мини-группах
• Репетиторство